Lineare Abhängigkeit / Unabhängigkeit

Die Frage nach linearer (Un)Abhängigkeit sieht man in der vektoriellen Geometrie sehr häufig. Die Definition lautet wie folgt: Gegeben sind beliebig viele Vektoren: A, B, C, … und genau so viele Parameter a, b, c, … Man betrachtet und löst nun das Gleichungssystem:  a*A+b*B+c*C+...=0  Wenn für ALLE Parameter die Lösung a=0, b=0, c=0, … rauskommt sind die Vektoren „linear unabhängig“. In jedem anderen Fall sind sie „linear abhängig“. Die Definition für eine „Linearkombination“ lautet ähnlich: Seien A, B, C,... wieder Vektoren und a, b, c,... wieder irgendwelche Parameter. Der Vektor A ist eine Linearkombination von B, C, D, … falls die Gleichung A=b*B+c*C+... mindestens eine Lösung besitzt.  Von einer „Basis“ spricht man, wenn man genauso viele linear unabhängige Vektoren hat, wie die Dimension des Raumes ist (in der Ebene braucht man also zwei lin.unabh. Vektoren, im 3dim. Raum braucht man vier lin.unabh. Vektoren, im 4dim. Raum sind´s vier Vektoren, usw...)
Jetzt das Ganze anschaulich: Vektoren sind linear unabhängig, wenn sie in völlig unterschiedliche Richtungen zeigen, man darf z.B. auch nicht aus zwei Vektoren einen dritten erstellen können. Ein Vektor ist eine Linearkombination von anderen Vektoren, wenn man Letztere derart miteinander addieren und multiplizieren kann, dass als Ergebnis der ersten Vektor rauskommt.